Теоритический материал для задания №10 по информатике

Задание 10: Системы счисления

Что такое системы счисления?

Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённого набора символов (цифр). В информатике наиболее часто используются:

  • Двоичная система (цифры: 0, 1)
  • Восьмеричная система (цифры: 0-7)
  • Десятичная система (цифры: 0-9)
  • Шестнадцатеричная система (цифры: 0-9 и буквы A-F)

1. Перевод в десятичную систему счисления

Общий принцип перевода в десятичную систему

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную используется следующая формула:

Число₁₀ = d₍ₙ₎ × b^n + d₍ₙ₋₁₎ × b^(n-1) + ... + d₍₁₎ × b¹ + d₍₀₎ × b⁰

где:
• b - основание исходной системы счисления
• d - цифра в соответствующем разряде
• n - номер разряда (нумерация справа налево с нуля)

Перевод из двоичной системы в десятичную

Пример: 1101₂ → ?₁₀

2³ 1
2² 1
2¹ 0
2⁰ 1
1 × 2³ = 1 × 8 = 8
1 × 2² = 1 × 4 = 4
0 × 2¹ = 0 × 2 = 0
1 × 2⁰ = 1 × 1 = 1
↓
8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀

Перевод из восьмеричной системы в десятичную

Пример: 47₈ → ?₁₀

8¹ 4
8⁰ 7
4 × 8¹ = 4 × 8 = 32
7 × 8⁰ = 7 × 1 = 7
↓
32 + 7 = 39₁₀

Перевод из шестнадцатеричной системы в десятичную

Соответствие шестнадцатеричных цифр:

16-ричная A B C D E F
Десятичная 10 11 12 13 14 15

Пример: 2F₁₆ → ?₁₀

16¹ 2
16⁰ F
2 × 16¹ = 2 × 16 = 32
F(15) × 16⁰ = 15 × 1 = 15
↓
32 + 15 = 47₁₀

Важные моменты при переводе в десятичную систему:

  • Всегда начинайте нумерацию разрядов с нуля справа налево
  • Не забывайте, что в 16-ричной системе A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
  • При возведении в степень помните, что любое число в степени 0 равно 1
  • Для проверки используйте калькулятор в режиме программиста

2. Перевод в двоичную систему счисления

Метод деления столбиком на 2

Чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, нужно:

  1. Разделить число на 2
  2. Записать остаток справа (0 или 1)
  3. Продолжать делить частное на 2, пока не получим 0
  4. Прочитать все остатки снизу вверх - это и будет двоичное число

Пример: 45₁₀ → ?₂

45 │2
44
1
← 1
22 │2
22
0
← 0
11 │2
10
1
← 1
5 │2
4
1
← 1
2 │2
2
0
← 0
1 │2
0
1
← 1
Читаем снизу вверх: 101101₂
45₁₀ = 101101₂

Пример: 13₁₀ → ?₂

13 │2
12
1
← 1
6 │2
6
0
← 0
3 │2
2
1
← 1
1 │2
0
1
← 1
Читаем снизу вверх: 1101₂
13₁₀ = 1101₂

Важные моменты:

  • При делении на 2 остаток всегда будет 0 или 1
  • Деление продолжаем, пока в частном не получим 0
  • Двоичное число получаем, читая все остатки снизу вверх
  • Не забывайте записывать промежуточные вычисления

Разбор типового задания

Задание:

Среди приведенных ниже трех чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

231₆, 32₈, 11110₂

Решение:

1 Переведём все числа в десятичную систему счисления:

1) Переводим 231₆ в десятичную систему:

231₆ = 2×6² + 3×6¹ + 1×6⁰ =
= 2×36 + 3×6 + 1×1 =
= 72 + 18 + 1 = 35₁₀

2) Переводим 32₈ в десятичную систему:

32₈ = 3×8¹ + 2×8⁰ =
= 3×8 + 2×1 =
= 24 + 2 = 26₁₀

3) Переводим 11110₂ в десятичную систему:

11110₂ = 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ =
= 16 + 8 + 4 + 2 + 0 =
= 30₁₀

2 Сравним полученные десятичные числа:

231₆ = 35₁₀
32₈ = 26₁₀
11110₂ = 30₁₀
35 > 30 > 26

3 Таким образом, наибольшим среди этих трёх чисел является число 35.

Ответ:

35

Алгоритм решения подобных заданий:

  1. Определите системы счисления для каждого числа по индексу
  2. Переведите каждое число в десятичную систему:
    • Для перевода используйте разложение по степеням основания системы
    • Записывайте промежуточные вычисления
  3. Сравните получившиеся десятичные числа
  4. Запишите в ответ максимальное число (без указания системы счисления)

Важные моменты:

  • Внимательно смотрите на индексы чисел - они указывают систему счисления
  • Не забывайте про степени: каждый разряд умножается на степень основания
  • В ответе нужно указать только число, без основания системы счисления
  • Проверяйте вычисления, особенно при работе со степенями