Теоритический материал для задания №3 по информатике
Задание 3: Определение истинности составного высказывания
Что такое составное высказывание?
Составное высказывание - это высказывание, которое состоит из нескольких простых высказываний, соединенных логическими операциями. Каждое простое высказывание может быть либо истинным (1), либо ложным (0).
Составное высказывание
5 > 3 И 4 < 6
Разбор на простые
5 > 3 (истина)
4 < 6 (истина)
Результат: истина И истина = истина
Операции сравнения
Равно (=)
Проверяет равенство двух значений
5 = 5 (истина)
5 = 6 (ложь)
Больше (>)
Проверяет, больше ли первое значение
6 > 5 (истина)
5 > 6 (ложь)
Меньше (<)
Проверяет, меньше ли первое значение
5 < 6 (истина)
6 < 5 (ложь)
Больше либо равно (≥)
Проверяет, больше или равно ли первое значение
6 ≥ 5 (истина)
5 ≥ 5 (истина)
4 ≥ 5 (ложь)
Меньше либо равно (≤)
Проверяет, меньше или равно ли первое значение
5 ≤ 6 (истина)
5 ≤ 5 (истина)
6 ≤ 5 (ложь)
Логические операции
| Операция | Обозначение | Описание | Пример |
|---|---|---|---|
| И (AND) | && | Истинно только если оба высказывания истинны | 5 > 3 И 6 < 8 (истина) |
| ИЛИ (OR) | || | Истинно если хотя бы одно высказывание истинно | 5 > 7 ИЛИ 6 < 8 (истина) |
| НЕ (NOT) | ! | Меняет значение высказывания на противоположное | НЕ (5 > 7) (истина) |
Особенности операции НЕ
При использовании операции НЕ перед скобками, знак сравнения внутри скобок меняется на противоположный:
Строгие неравенства
НЕ (x > y) = x ≤ y
НЕ (x < y) = x ≥ y
Строгий знак (> или <) становится нестрогим с противоположным направлением (≤ или ≥)
Нестрогие неравенства
НЕ (x ≥ y) = x < y
НЕ (x ≤ y) = x > y
Нестрогий знак (≥ или ≤) становится строгим с противоположным направлением (< или >)
Равенство
НЕ (x = y) = x ≠ y
НЕ (x ≠ y) = x = y
Равенство меняется на неравенство и наоборот
Пример:
НЕ (2 > 3)
1. Применяем НЕ
2. Меняем знак сравнения на противоположный
3. Получаем: 2 ≤ 3
Важные моменты при работе с НЕ
- • При отрицании строгого неравенства (> или <) знак меняется на противоположный нестрогий (≤ или ≥)
- • При отрицании нестрогого неравенства (≥ или ≤) знак меняется на противоположный строгий (< или >)
- • Направление знака всегда меняется на противоположное
Важно помнить!
- ! Всегда соблюдайте порядок выполнения операций
- ! Записывайте промежуточные результаты
- ! Проверяйте свое решение, подставляя другие значения
Разбор задания №3. Тип 1
Условие задачи
Напишите наибольшее целое число x, для которого истинно высказывание:
НЕ (X ≤ 15) И (X < 20)
Алгоритм решения
Упростим первую часть: НЕ (X ≤ 15)
НЕ (X ≤ 15)
→X > 15
Помним: при отрицании нестрогого неравенства (≤) получаем строгое (>)
Запишем всё выражение с упрощённой первой частью
(X > 15) И (X < 20)
Найдём подходящие значения X
Условие 1: X > 15
Условие 2: X < 20
X должно удовлетворять обоим условиям одновременно (операция И)
15 < X < 20
Найдём наибольшее целое число из этого диапазона
Целые числа в диапазоне (15; 20): 16, 17, 18, 19
Наибольшее из них: 19
Проверка ответа
Подставим X = 19 в исходное выражение:
НЕ (19 ≤ 15) И (19 < 20)
= НЕ (ложь) И (истина)
= истина И истина
= истина
Ответ: 19
19 - это наибольшее целое число, которое больше 15 и одновременно меньше 20.
Разбор задания №3. Тип 2
Условие задачи
Напишите наименьшее целое число x, для которого истинно высказывание:
НЕ (X < 2) И (X четное)
Напоминание:
Четные числа - это числа, которые делятся на 2 без остатка (0, 2, 4, 6, 8, ...)
Алгоритм решения
Упростим первую часть: НЕ (X < 2)
НЕ (X < 2)
→X ≥ 2
Помним: при отрицании строгого неравенства (<) получаем нестрогое (≥)
Запишем оба условия
1) X ≥ 2
2) X четное
Должны выполняться оба условия (операция И)
Найдём подходящие значения X
X ≥ 2: все числа от 2 и больше
X четное: 2, 4, 6, 8, ...
Подходят числа: 2, 4, 6, 8, ... (четные числа от 2 и больше)
Найдём наименьшее подходящее число
Наименьшее четное число, которое больше или равно 2, это само число 2
Проверка ответа
Подставим X = 2 в исходное выражение:
НЕ (2 < 2) И (2 четное)
= НЕ (ложь) И (истина)
= истина И истина
= истина
Ответ: 2
2 - это наименьшее четное число, которое больше или равно 2.
Разбор задания №3. Тип 3
Условие задачи
Напишите наибольшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:
(x < 5) ИЛИ НЕ (x > 3)
Важно помнить:
- • Натуральные числа - это числа 1, 2, 3, 4, ...
- • Для операции ИЛИ достаточно, чтобы хотя бы одно из условий было истинным
Алгоритм решения
Упростим вторую часть: НЕ (x > 3)
НЕ (x > 3)
→x ≤ 3
При отрицании строгого неравенства (>) получаем нестрогое (≤)
Запишем упрощённое выражение
(x < 5) ИЛИ (x ≤ 3)
Изобразим оба условия на числовой оси
Вывод:
Подходят все натуральные числа, которые меньше 5, потому что:
- • Если x ≤ 3, то выполняется второе условие
- • Если 3 < x < 5, то выполняется первое условие
- • Для операции ИЛИ достаточно одного истинного условия
Найдём наибольшее натуральное число
Натуральные числа меньше 5: 1, 2, 3, 4
Наибольшее из них: 4
Проверка ответа
Подставим x = 4 в исходное выражение:
(4 < 5) ИЛИ НЕ (4 > 3)
= (истина) ИЛИ НЕ (истина)
= истина ИЛИ ложь
= истина
Ответ: 4
4 - это наибольшее натуральное число, которое удовлетворяет условию (x < 5) ИЛИ НЕ (x > 3).
Разбор задания №3. Тип 4
Условие задачи
Для какого целого числа X ЛОЖНО высказывание:
(X > 7) ИЛИ НЕ (X > 6)
Важно помнить:
- • Высказывание ЛОЖНО, когда оба условия в операции ИЛИ ложны
- • Отрицание строгого неравенства (>) даёт нестрогое (≤)
Алгоритм решения
Упростим вторую часть: НЕ (X > 6)
НЕ (X > 6)
→X ≤ 6
Запишем упрощённое выражение
(X > 7) ИЛИ (X ≤ 6)
Изобразим условия на числовой оси
Анализ:
- • При X ≤ 6 второе условие истинно
- • При X > 7 первое условие истинно
- • При X = 7 оба условия ложны!
Проверим число 7
1) 7 > 7 ? Ложь
2) 7 ≤ 6 ? Ложь
Ложь ИЛИ Ложь = Ложь
Ответ: 7
Высказывание ложно только при X = 7, так как:
- • 7 не больше 7 (первое условие ложно)
- • 7 не меньше или равно 6 (второе условие ложно)
- • Ложь ИЛИ Ложь = Ложь
Когда логические операции дают ЛОЖЬ?
| Операция | Когда ЛОЖЬ? | Пример |
|---|---|---|
| И (AND) |
|
(X > 5) И (X < 3) При X = 4: Ложь И Истина = Ложь |
| ИЛИ (OR) |
Только когда ОБА условия ложны |
(X > 7) ИЛИ (X ≤ 6) При X = 7: Ложь ИЛИ Ложь = Ложь |
| НЕ (NOT) |
Когда условие внутри НЕ является истинным |
НЕ (5 > 3) 5 > 3 это истина, значит: НЕ (истина) = Ложь |
Важно запомнить:
- • Операция И самая "строгая" - достаточно одного ложного условия
- • Операция ИЛИ самая "мягкая" - нужно, чтобы оба условия были ложными
- • Операция НЕ просто меняет значение на противоположное